信号与系统学习笔记

大二复习

基础数学

$e^{j\theta}=cos(\theta)+jsin(\theta)$

$cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta }}{2}$

$sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta }}{2j}$
$$
\sum_{n=0}^{\infty}{(z_0)^n=\frac{1}{1-z_0}} ,|z_0|<1
$$

连续信号与离散信号

信号的分类
$$
E_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2
$$

$$
P_{\infty}=\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt=
\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{-N}^{N}|x(t)|^2
$$

有限能量信号（Finite‐energy signal）:$E_{\infty}<\infty,P_{\infty}=0$
有限功率信号（Finite‐power signal）：$P_{\infty}<\infty,E_{\infty}=\infty$
无限功率能量信号（Infinite energy & power signal ）：$P_{\infty}\rightarrow\infty,E_{\infty}\rightarrow\infty$

信号的偶部与奇部

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

$x_e(t)=E_v[x(t)]=1/2[x(t)+x(-t)]$

$x_o(t)=O_d[x(t)]=1/2[x(t)-x(-t)]$

信号的频率与周期

对于连续信号$x(t)=e^{jw_0t}$，有$\frac{2\pi}{|k|w_0}=\frac{T_0}{|k|}$

对于离散信号$x[n]=e^{jw_0n}$有$\frac{w_0}{2\pi}=\frac{m}{N}$，周期满足$N=m(2\pi/w_0)$ 整数

区别就是离散信号N一定为正整数

基础信号

单位脉冲信号与单位阶跃信号

离散时间的定义

一些性质

$\delta[n]=u[n]-u[n-1]$
$u[n]=\sum_{m=\infty}^{n}\delta[m]$
$x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]$

连续时间的定义：

一些性质：

$u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau )d\tau$
$\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$
$x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)$

基本信号的性质

记忆系统：输出决定于现在和以前的输入，（不管将来）非记忆就是只和现在状态相关

例子：$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k],y[n]=x[n-1]$
可逆性：不同输入对应不同输出

例子：$y[n]=0,y(t)=x^2(t)$不可逆
因果性：任何时间的输出都只由现在和以前的状态决定，注意和记忆区别

例子：$y[n]=x[n]-x[n+1],y(t)=x(t+1)$非因果
稳定性：输入有界，则输出有界一定稳定
时不变性：时间平移造成相同的输出平移
线性：$x_1(t)->y_1(t),x_2(t)->y_2(t)$有$ax_1(t)+bx_2(t)->ay_1(t)+by_2(t)$

易错例子：

$y(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$

是记忆，不可逆，非因果，不稳定，时不变，非线性系统（因果用定义判断）

卷积(Convolution)

定义

已知x,y系统的关系，求$h(t)$就是把$x$换成$\delta$

离散时间

例子：

连续时间

$\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau=x(t)*h(t)$

同理

计算

核心：以$t/n$的大小分类讨论

一般习惯用画图法，画出$h(t-\tau)$的图来和$x(\tau)$相乘分类讨论

例子如下：

若$h(t)=f(-t+a)$则画图时候还是处理成$\tau$不用取反，位移看成$h(\tau-(t-a))$，于是对应的位移坐标是$t-a$

性质

以连续时间为例子，离散时间同理

交换律： $x(t)h(t)=h(t)x(t)$
分配律： $x(t)(h_1(t)+h_2(t))=x(t)h_1(t)+x(t)*h_2(t)$
结合律： $x(t)(h_1(t)h_2(t))=(x(t)h_1(t))h_2(t))$
当且仅当$h(t)=0,\forall t \neq 0$，该系统是没有记忆的很好理解因为$x(t)*h(t-\tau)$ 要保证$h(t-\tau)$只有$h(t)$有值
如果$h_0(t)*h_1(t)=\delta(t)$则$h_1(t)$是$h_0(t)$的逆系统

例子：$y(t)=x(t-t_0)$逆系统表达$y_1(t)=x(t+t_0)$因为 $\delta(t-t_0)\delta(t+t_0)=\delta(t)$对应$h(t)h_1(t)=\delta(t)$
当$h(t)=0 ,t<0$时，$y(t)=x(t)*h(t)$系统是因果的

这个条件相当于$h(t-\tau)=0,t-\tau <0$
当$h(t)$绝对可积，则该系统稳定$\int_{-\infty}^{\infty}|h(\tau)|d\tau < \infty$
单位阶跃响应$s(t)$就是把$x(t)=u(t)$计算得到的值，即$s(t)=\int_{-\infty}^th(\tau)d\tau$

差分与求导

本质好像就是求微分方程，先根据形式猜测特解，再找出齐次通解，最后用条件求解

注意课件上最后带入的时候写错了，负号消失了

至于差分就是等比\等差数列求解

然后有一个画图表示的

傅里叶系数(Fourier Series Representation )

前置信息

当输入是负数信号时候输出的形式，引入LTI系统中$H(s)$的概念

离散时间同理

定义

前面提到输入是复数信号的输出形式有一种比较便捷的表达形式，那么如何将任意$x(t)$改写成复数信号的线性组合呢，我们引入傅里叶级数

连续时间：
$$
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk(2\pi /T_0)t}
$$
这里的$a_k$就是傅里叶级数，$w_0=2\pi/T_0$

若$x(t)$是实信号，有另一个表达方法

利用的是$a_k=a_{-k}^*$的性质

离散时间：
$$
x[n]=\sum_{k=}a_ke^{jk(2\pi/N)n}
$$

计算方法

已知$x(t)$如何求$a_k$，有公式
$$
a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jkw_0t}dt
$$
其中
$$
a_0=\frac{1}{T}\int_Tx(t)dt
$$
离散时间：
$$
a_k=\frac{1}{N}\sum_{k=}x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}
$$

ps:写答案的时候，$a_k=0$的情况也要写出来,不能不写

例子：常见信号的傅里叶级数，方波，记下来比较好

离散时间的方波：

收敛性

不是所有信号都有傅里叶级数，若级数趋于无穷则无法准确表示该信号，故要判断$x(t)$的收敛性

条件1：有限能量条件$\int_T|x(t)|^2dt<\infty$，则可以用傅里叶级数
条件2：迪利克雷条件：1.绝对可积$\int_T|x(t)|dt<\infty$2.在任意有限时间，$x(t)$有界，满足有限个的最大最小值点。3.任意有限时间，只有有限的点是不连续的。

性质

仍然以连续时间为例子，以下表示傅里叶级数，性质将简化处理

线性：$Ax(t)+By(t)\to c_k=Aa_k+Bb_k$
时间平移：$x(t-t_0)\to b_k=e^{-jkw_0t_0}a_k$
时间反转：$x(-t)\to b_k=a_{-k}$
时间翻倍：$x(\alpha t)\to b_k=a_k,w=\alpha w_0$只改变频率
相乘：$z(t)=x(t)y(t)\to h_k=\sum_{l=-\infty}^{\infty} a_lb_{k-l}$
共轭：$z(t)=x^(t)\to b_k=a^_{-k}$

$x(t)$实信号，$a_k^*=a_{-k}\to |a_k|=|a_{-k}|$

$x(t)$实且偶信号，$a_k=a_{-k}\to a_k=a_k^*\to a_k$实且偶

$x(t)$实且奇信号，$a_k=-a_{-k}\to a_k=-a_k^*\to a_k$纯虚且奇
求导与积分：$dx(t)/dt \to jkw_0a_k;\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \to a_k/(jkw_0)$
频率移动：$e^{jMw_0t}x(t) \to a_{k-M}$
卷积：$\int_Tx(\tau)y(t-\tau)d\tau \to Ta_kb_k$
帕斯瓦尔关系式：$\frac{1}{T}\int_T|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2$

傅里叶级数与LTI系统

与part1结合，我们可以利用傅里叶级数算出输出信号的傅里叶级数表达形式

注意其中$w=kw_0$ 带数据不能带错了

傅里叶变换( Fourier Transform)

傅里叶级数表示的都是周期信号，那每周期信号如何处理，我们引入傅里叶变换。

傅里叶变换的思路是将没有周期的信号扩展成周期信号，再对这个周期信号求傅里叶级数，因为原信号没有周期可以引入$X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt$

故得到
$$
X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt
$$

$$
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(jw)e^{jwt}dw
$$

$X(jw)$称作频谱(spectrum)

对比FT和FS有$a_k=\frac{1}{T}X(jw),w=kw_0 $

关于收敛性和上述一致，不再重复讨论

一些典型例子

指数型：

绝对值指数型：

方波型：

周期信号的傅里叶变换

寻找$a_k$和$X(jw)$的关系

反正得到结论是
$$
X(jw)=\sum_{K=-\infty}^{\infty}a_k2\pi\delta(w-kw_0)
$$
还是方波的例子：

正弦和余弦信号：

性质

和傅里叶级数有很多类似性质，以下为简化记录

线性：$ax(t)+by(t)\to aX(jw)+bY(jw)$
时间平移：$x(t-t_0)\to e^{-jkwt_0}X(jw)$
时间反转：$x(-t)\to X(-jw)$
共轭：$z(t)=x^(t)\to X^(-jw)$

$x(t)$偶信号，$X(jw)=X(-jw)$，$x(t)$实信号，$X(-jw)=X^*(jw)$

$x(t)$实且偶信号，$X(j w)$实且偶

$x(t)$实且奇信号，$X(j w)$纯虚且奇

$x(t)$实信号，$E_v[x(t)] \to R_e[X(jw)],O_d[x(t)]\to j I_m[X(jw)]$
求导与积分：$dx(t)/dt \to jwX(jw);\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \to \frac{1}{jw}X(jw)+\pi X(0)\delta(w)$
翻倍：$x(at)\to\frac{1}{|a|}X(jw/a),a \neq 0$
帕斯瓦尔关系式：$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(jw)|^2dw$
对偶性：

已知$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(jw)e^{jwt}dw$

$x(jw)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{jwt}dt$

$x(-jw)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-jwt}dt$

例子：

卷积性质

一个比较特殊的$h(t)=\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau=u(t)$

$H(jw)=1/jw+\pi \delta(w)$

乘积性质

微分方程

一阶导数，两边都做傅里叶变换来求

二阶的

相位与相角

$\angle H(jw)$计算方法，基本分数形式就是分母的相角减去分子的相，若有乘法就是加

$H(jw)=|H(jw)|e^{j\angle H(jw)}$

例子：$ H(jw)=\frac{jw+2}{(jw)^2+4(jw)+3},$ $tan \theta=\frac{w}{2}-\frac{4w}{3-w^2}$

$arg(H(jw))=arctan[\frac{w}{2}-\frac{4w}{3-w^2}]$

group delay：$\tau (w)=-\frac{d}{dw}[\angle H(jw)]$

Log-Magnitude and Bode Plots

在卷积中相角的应用

$y(t)=x(t)*h(t)$ $Y(jw)=H(jw)X(jw)=|H(jw)||X(jw)|e^{j(\angle H(jw) + \angle X(jw))}$

$\angle Y(jw)= \angle H(jw)+ \angle X(jw)$两边取log

$log|Y(jw)|=log|H(jw)|+log|X(jw)|$

波得图(Bode plot)：一阶系统

二阶系统

信号的采样与恢复

上图就是用一个离散的周期信号去采样$x(t)$的过程

但若$x(t)$是一个非周期的又带限的信号

$X_p(jw)=\frac{1}{2\pi}X(jw)*P(jw)$

$P(jw)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_s)=\frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(w-k\frac{2\pi}{T})$

$X_p(jw)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(j(w-kw_s))$

观察得知，当$w_m<w_s+w_m$时候，信号采样的hi和不会出现重叠，若$w_m>w_s-w_m$信号会重复被采样，故部分信号缺失造成误差

故对有带限的信号，采样频率要满足$w_s>2w_m$这也就是采样定理

零阶保持

这是一种采样后恢复的方式

理想低通滤波器

$h(t)=\frac{Tw_c}{\pi} \frac{sinw_ct}{w_ct}$

$x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\frac{Tw_c}{\pi} \frac{sinw_c(t-nT)}{w_c(t-nT)}$

一阶保持

$H(jw)=\frac{1}{T}[\frac{sin(wT/2)}{w/2}]^2$

混叠(Aliasing)

当$w_s<2w_m$时，取样后会出现混叠现象

离散与连续时间信号转化

C/D conversion

$x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)$

$x_d[n]=x_c(nT)$

推理过程：

$X_d(e^{j\Omega})=\sum_{-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\Omega}=\sum_{-\infty}^{\infty}x_c(nT)e^{-jn\Omega}$

$x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)\delta(t-nT) \rightarrow X_p(jw)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)e^{-jwnT}$

如果$w=\Omega /T,X_d(e^{j\Omega})=X_p(j\Omega/T)$

$X_d(e^{j\Omega})=1/T\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(j(\Omega-2k\pi)/T)$

D/C conversion

$y_c(t)=y[n/T]$

全系统

离散信号的采样

$X_p(e^{jw})=1/N\sum_{k=0}^{N-1}X(e^{j(w-kw_s)})$

离散信号的恢复

$x_r[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\frac{Nw_c}{\pi}\frac{sinw_c(n-kN)}{w_c(n-kN)}$

向下取样(SRI)因子M： $y[n]=x[Mn]$

拉普拉斯变换(The Laplace transform)

定义

傅里叶变换的拓展版

$x(t)\rightarrow X(s),X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt,s=\sigma +jw$

当$s=jw$，就是傅里叶变换

定义域，零点，极点

这个是拉普拉斯变换区别于傅里叶变换特有的

定义域主要是看s的实部取值范围记为$Re[s]$

$X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$零点就是分子等于零时候s取值，极点是分母等于0的时候s取值

定义域一定不包括极点，零点无所谓

基本性质

The ROC of 𝑋 𝑠 consists of strips parallel to the 𝑗𝜔‐axis in the 𝑠‐p

$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|e^{\sigma t}dt<\infty$ 用绝对可积来求定义域
For rational Laplace transforms, the ROC does not contain any poles.极点一定不在定义域之内
If $x(t)$is of finite duration and is absolutely integrable, then the ROC is the entire s-plane.绝对可积则包含整个s平面
后面关于ROC和极点的性质不多赘述

反拉普拉斯变换

根据$X(s)$求$x(t)$

$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds$

图像性质

常用性质

线性：$x(t)=ax_1(t)+bx_2(t)\rightarrow aX_1(s)+bX_2(s),ROC :R_1 \and R_2$
时间平移：$x(t-t_0)\rightarrow e^{-st_0}X(s),ROC:R$

$X(s-s_0)\rightarrow e^{jw_0t}x(t),ROC:R$
翻倍：$x(at)\rightarrow \frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a}),ROC:aR$
共轭：$x^(t)\rightarrow X^(s^*),ROC:R$
卷积：$x_1(t)*x_2(t)\rightarrow X_1(s)X_2(s),ROC:R_1\and R_2$
求导：$\frac{dx(t)}{dt}\rightarrow sX(s),ROC$ :contains $R$

$-tx(t)\rightarrow \frac{dX(s)}{ds}$
积分：$\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau \rightarrow \frac{1}{s}X(s),ROC:R\and [Re[s]>0]$

Initial‐value theorem:$x(0^+)= \lim_{s \rightarrow \infty}sX(s) $

Final‐value theorem:$\lim_{t \rightarrow \infty}x(t)=\lim_{s \rightarrow0}sX(s)$

特性

因果性(Causality)：定义域包括右半平面
反因果性(Anti‐causal)：定义域包括左半平面
稳定性(Stability)：$H(s)$的脉冲响应绝对可积，定义域包括整个$jw$轴，即虚轴

对于因果系统，所有极点都在左半平面，即所有极点都有负实部

经典例题

框图表示(Block Diagram Representation)

一阶系统

二阶系统的三种表示

如何看八爪鱼

上面系数直接写，从幂高到低，下面系数取反。系数也是高到低写，没有框就是1

单边拉普拉斯变换

$X(s)= \int_{0^-}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$

$x(t)=0$ for $t<0$ the unilateral and bilateral transforms are identical

不同的性质点

求导：$\frac{dx(t)}{dt}\rightarrow sX(s)-x(0^-)$
卷积：$x_1(t)*x_2(t)\rightarrow X_1(s)X_2(s),ROC:R_1\and R_2$只有$x_1(t),x_2(t)$都满足$t<0,x_1(t)=0,x_2(t)=0$才能用

用处：求LTI系统的零输入响应，和零状态响应

Z变换(The z‐transform)

定义

拉普拉斯变换的离散信号版本

$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$

定义域都是圆型的

相似性质都和拉普拉斯相同不多赘述

反Z变换

$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\int X(z)z^{n-1}dz$

注意定义域范围来确定最后得到函数

图像性质

常用性质

线性：$ax_1[n]+bx_2[n]\rightarrow aX_1(z)+bX_2(z),ROC:R_1 \and R_2$
时间平移：$x[n-n_0]\rightarrow z_{-n_0}X(z),ROC:R$

$X(e^{-jw_0}z)\rightarrow e^{jw_0n}x[n],ROC:R$
共轭：$x^[n]\rightarrow X^(z^*),ROC:R$
求导：$nx[n]\rightarrow -z\frac{dX(z)}{dz},ROC:R$
$x[n]-x[n-1]\rightarrow (1-z^{-1})X(z),ROC :R$,

$\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\rightarrow \frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$