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数学分析II总结归纳

常微分方程

常规解法

  1. 分离变量法 ：$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y) \rightarrow \int {\frac{dy}{h(y)}}=\int {g(x)dx}$
  2. 令$ u=\frac{y}{x},y’=u+xu’$
  3. 令$u=x+y,y’=u’-1$

一阶线性方程

形如$y’+P(x)y=Q(x)$ 公式$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

$Berroulli$方程形如$y’+P(x)y=Q(x)y^n (n \neq 0,1)$令$u=y^{1-n}$ 有$u’+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

有$y^{1-n}=e^{-(1-n)\int P(x)dx}(\int (1-n)Q(x)e^{\int (1-n)P(x)dx}dx+C)$

  • 可降阶微分方程
  1. 无y型，令$p=y’,y’’=p’$先求$y’$
  2. 无x型，令$p=y’,y’’=p \frac{dp}{dy}$

二阶线性方程

基本定义：$y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)(NHL)$ $y’’+P(x)y’+Q(x)y=0(HL)$

唯一性定理：若函数p(x),q(x),f(x)在区间I上连续，$x_0 \in I $，则对任何给定的数值$\alpha ,\beta$有

$$\begin{cases} y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)& \y(x_0)=\alpha,y’(x_0)=\beta& \end{cases}$$

存在唯一解y(x)，当$\alpha =\beta =0$该(HL)只有零解

线性相关：对函数$y_1(x),y_2(x)$若存在不全为零的常数$c_1,c_2$使$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\equiv 0 (x\in I)$,则这两个函数线性相关，否则使线性无关。

若$W(x)\equiv 0 \Leftrightarrow$$y_1(x),y_2(x)$线性相关

定理：设$y_1(x),y_2(x)$为HL的解，有$Liouville$公式$W(x)=W(x_0)e^{-\int_x^{x_0} p(t)dt}$

解的结构

$Liouville$公式：先找出非零特解$y_1(x)$，有$y_2(x)=y_1(x)\int \frac{1}{y_1^2} e^{\int p(x)dx}$

一般带$x^m,e^{ax},sinmx,cosmx$

常数变易法

针对(NHL)，非齐次通解=非齐次特解+齐次通解

NHL $ y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)$

步骤：

  1. 先求出齐次通解$y_1(x),y_2(x)$

  2. 求出行列式$W(x)$，求出$c_1’(x)=\frac{-y_2(x)f(x)}{W(x)},c_2’(x)=\frac{y_1(x)f(x)}{W(x)}$

  3. 得到非齐次特解$y^*=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$
  4. 非齐次通解$y=y^*+c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$

二阶常系数齐次线性方程

形式$y’’+py’+qy=0$ 有特征方程$\lambda^2+p\lambda+q=0 $

特征根 通解
相异实根$\lambda_1 ,\lambda_2$ $c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$
相同实根$\lambda$ $c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}$
共轭复根$\alpha ,\beta$ $c_1e^{\alpha x}cos\beta x+c_2e^{\alpha x}sin\beta x$

高于二阶的方程 以此类推

空间解析几何

此章主要是计算，就不多写了

混合积$(\vec{a} \times \vec{b})·\vec{c}=|\vec{a} \times\vec{b}||\vec{c}|cos\theta(\vec{a} \times\vec{b},\vec{c}) $几何意义：以$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$为同顶点三条棱的平行六面体的体积

叉乘预算律：反交换律，结合律，分配律

异面直线距离$d=\frac{|(\vec{s_1} \times \vec{s_2})\overrightarrow{p_1 p_2}}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

点到直线距离$d=\frac{|\overrightarrow{p_1 p_2}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}$

多变量函数的微分学

拓扑学相关暂不列举（）

多变量函数的极限

对$\forall \varepsilon >0$，当$M(x,y)\in D,\exist \delta>0$,满足$0<\rho(M,M_0)<\delta$或者$0<|x-x_0|<\delta,0<|y-y_0|<\delta$时，有$|f(M)-a|<\varepsilon$ 记为$\lim\limits_{M\rightarrow M_0} f(x)=a$

常用结论：$\lim\limits_{x\rightarrow 0,y \rightarrow 0}\frac{xy}{x+y}$不存在 令$y=-x+kx^2$得到极限为$-\frac{1}{k}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0,y \rightarrow 0}\frac{x^2y}{x^4+y^2}$不存在，令$y=kx,y=x^2$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0,y \rightarrow 0}\frac{xy}{x^2+y^2}$不存在，令$y=kx$ 但有累次极限

累次极限：若存在首次极限，$\phi(x)=\lim\limits_{y\rightarrow y_0} f(x,y),\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \phi(x)=a$则称其累次极限为a，记为$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y\rightarrow y_0} f(x,y)=a$

技巧：遇到$x^2+y^2$ 形式的，令$x=rcos\theta,y=rsin\theta$来计算极限

多变量函数的连续性

定义：$\forall \varepsilon >0,\exist \delta>0,\forall M\in B(M_0,\delta)=|f(M)-f(M_0)|<\varepsilon$,即$\lim\limits_{M\rightarrow M_0} f(M)=f(M_0)$则称$f(M)$在$M_0$连续

类似的还有一致连续性，参考数分I就不列举了

多变量函数的微分

偏微商

偏导数定义：$f_x(x,y)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+ \Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

可偏导未必连续,其他的东西再后面一并写出

定理：若$f(x,y)$的二阶混合偏导数在 $(x,y)$连续，则$f_{xy}’’(x,y)=f_{yx}’’(x,y)$

可微性

全微分：$df(x,y)=f_x’(x,y)dx+f_y’(x,y)dy$

判断是否可微 $\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)-f_x’( x,y)\Delta x-f_y’( x, y)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} =0$ 则可微

若不存在或者不为0，则不可微

这几个概念的关系如图

方向导数和梯度

方向导数的定义：设$\vec{e}=(cos \alpha,cos\beta)$, 函数在点$(x_0,y_0)$处沿e的方向导数的定义：$\frac{\eth f}{\eth \vec{e}}(x_0,y_0)=\lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tcos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$

若f可微，$\frac{\eth f}{\eth \vec{e}}(x_0,y_0)=f_x’(x_0,y_0)cos\alpha+f_y’(x_0,y_0)cos\beta$

梯度定义：$grad f(x_0,y_0)=(f_x’(x_0,y_0),f_y’(x_0,y_0))$

梯度方向使方向导数取最大值时的方向，其模就是方向导数的最大值

复合函数的微分

链式法则 懂得都懂，式子太长不写了

$Laplace$方程 $\frac{\eth^2u}{\eth^2 x} +\frac{\eth^2u}{\eth^2 y}+ \frac{\eth^2u}{\eth^2 z}=0 $

向量值函数的微商和微分

定义：$r’(t)=\lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{r(t+\Delta t) -r(t)}{\Delta t}$

性质：

  1. $\frac{d}{dt}(fa)=f\frac{da}{dt}+\frac{df}{dt}a$
  2. $\frac{d}{dt}(a·b)=\frac{da}{dt}·b+a·\frac{db}{dt}$
  3. $\frac{d}{dt}(a \times b)=\frac{da}{dt} \times b+a \times \frac{db}{dt}$

$Jacobi$行列式$J_x(f)=\frac{\eth(y_1,y_2,···,y_n)}{\eth(x_1,x_2,···,x_n)}$

隐函数和逆映射定理

隐函数存在定理：F在$M(x_0,y_0)$邻域内有连续偏导，且$F_x’(x,y) \neq 0,F_y’(x,y) \neq 0，F(x_0,y_0)=0$ ，隐函数$y=f(x)$满足$F(x,f(x))=0,y_0=f(x_0)$ 则$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x’(x,y)}{F_y’(x,y)}$

有$\begin{cases} F(x,y,u,v)=0 \ G(x,y,u,v)=0\end{cases}$，存在隐映射$$\begin{cases} u=u(x,y) \ v=v(x,y) \end{cases}$$ 则

$\frac{\eth u}{\eth x}=-\frac{1}{J}\frac{\eth (F,G)}{\eth (x,v)}$$\frac{\eth u}{\eth y}=-\frac{1}{J}\frac{\eth (F,G)}{\eth (y,v)}$ $\frac{\eth v}{\eth x}=-\frac{1}{J}\frac{\eth (F,G)}{\eth (u,x)}$ $\frac{\eth u}{\eth x}=-\frac{1}{J}\frac{\eth (F,G)}{\eth (u,y)}$

参数曲线

空间曲线切线/法平面

参数式 ：$x=x(t),y=y(t),z=z(t),\vec{\iota}=(x’(t),y’(t),z’(t))$

一般式：$\begin{cases} F(x,y,u,v)=0 \ G(x,y,u,v)=0\end{cases}，\vec{\iota}=(\frac{\eth(F,G)}{\eth(y,z)},\frac{\eth(F,G)}{\eth(z,x)},\frac{\eth(F,G)}{\eth(x,y)})$

平面隐式曲线

$F(x,y)=0,(x-x_0)F_x’+(y-y_0)Fy’=0$

空间曲面切平面/法线

隐式：$F(x,y,z)=0,\vec{n}=(F’_x,F’_y,F’_z)$

显式：$z=f(x,y),\vec{n}=(f_x’,f_y’-1)$

参数式：$\begin{cases} x=x(u,v) \ y=y(u,v) \ z=z(u,v) \end{cases},\vec{n}=(\frac{\eth(y,z)}{\eth(u,v)},\frac{\eth(z,x)}{\eth(u,v)},\frac{\eth(x,y)}{\eth(u,v)})$

多元函数的Taylor公式与极值

二元函数的微分中值定理：$f(x,y)$在凸区域D内有连续的偏导数，则对D内任何两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$的直线段上一点$(\xi,\zeta)$有$f(x_2,y_2)-f(x_1,y_1)=(x_2-x_1)f_x’(\xi,\zeta)+(y_2-y_1)f_y’(\xi,\zeta)$

二元函数的Taylor展开公式：$f(x,y)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!}D^mf(x_0,y_0)+R_n,R_n=\frac{1}{(n+1)!}D^{n+1}f(x_0+\theta\Delta y,y_0+\theta\Delta y)$

其中$D=\Delta x \frac{\eth}{\eth x}+\Delta y \frac{\eth}{\eth y},0<\theta <1$

二元函数的极值

极值的必要条件

$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处取到极值，则$f’_x(x_0,y_0)=f’_y(x_0,y_0)=0$

极值的充分条件

记Hesse矩阵 $H=\begin{pmatrix} A=f_{xx} & B=f_{xy} \ B=f_{yx} & C=f_{yy} \end{pmatrix}\ Q(h,k)=\begin{pmatrix} h &k \end{pmatrix}H\begin{pmatrix} h \k \end{pmatrix}=Ah^2+2Bhk+Ck^2 ,\Delta=|H|=AC-B^2$

  1. 当$\Delta >0,A>(<)0$时，即Q为正（负）定矩阵，$(x_0,y_0)$为极小（极大）值
  2. 当$\Delta <0$时，即Q为不定矩阵，$(x_0,y_0)$不是极值点
  3. 当$\Delta =0$时，即Q为半定矩阵，判断失效

条件极值

  • 直接法

    如果可以从约束条件$\phi(x,y,z)=0$解出一个变量$z=z(x,y)$则可求$u=f(x,y,z(x,y))$的无条件极值

  • $Lagrange$乘数法

    令$L(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z)$ 求其无条件极值的必要条件，即

    $\begin{cases} L’_x=0 \ L’_y=0 \ L’z=0 \L’\lambda=0 \end{cases}$

二元函数的最值

原则：有界闭区域上的可微函数的最值在内部驻点或边界点取到

实际：若在区域内取驻点唯一，此为最值点

一般就考虑边界和内部，分类讨论，或者一些特殊的没有偏导数的点

向量场的微商

$Nabla /Hamilta$算子 $\nabla \phi =grad\phi=\frac{\eth \phi}{\eth x}\vec{i}+\frac{\eth \phi}{\eth y}\vec{j}+\frac{\eth \phi}{\eth z}\vec{k}$

设有向量场$\vec {v}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$

散度定义：$div \vec{v}=\nabla ·\vec{v}=\frac{\eth P}{\eth x}+\frac{\eth Q}{\eth y}+\frac{\eth R}{\eth z}$

故向量场的散度为数量场

旋度定义：$rot\vec{v}=\nabla \times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \ \frac{\eth}{\eth x} & \frac{\eth}{\eth y} &\frac{\eth}{\eth z} \ P & Q & R \end{vmatrix}$

故向量场的旋度为向量场

运算律：

  1. $\nabla(\phi +f)=\nabla \phi+\nabla f$
  2. $\nabla ·(\vec{a}+\vec{b})=\nabla · \vec{a}+\nabla · \vec{b}$
  3. $\nabla \times(\vec{a}+\vec{b})=\nabla \times \vec{a}+\nabla \times \vec{b}$
  4. $\nabla (\phi f)=\phi \nabla f+f\nabla \phi $
  5. $\nabla (\phi \vec{a})=\phi \nabla ·\vec{a}+\vec{a} ·\nabla \phi $
  6. $\nabla (\vec{a}\times\vec{b})=\vec{b}·\nabla \times \vec{a}-\vec{a}·\nabla \times \vec{b}$
  7. $\nabla \times (\phi \vec{a})=\nabla \phi \times \vec{a}+\phi \nabla \times \vec{a}$

二重积分

定义：$f(x,y)$在有界闭界上定义$D=[a,b]\times [c,d]$,若对其任取矩形分割$( (\varepsilon _i \eta i)\in D{ij}$总有$\lim \limits_{|T| \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(\varepsilon _i \eta i)\Delta \sigma{ij}=I$

性质：

  1. 线性
  2. 可加性
  3. 单调性 $f(x,y) \leq g(x,y),\iint_D f(x,y)d\sigma \leq \iint_D g(x,y)d\sigma$
  4. 绝对值不等式 $|\iint_D f(x,y)d\sigma| \leq \iint_D |f(x,y)|d\sigma$
  5. 中值定理 $f(x,y) \in C(D) ,\exist (\xi ,\eta ) \in D , \iint_Df(x,y)d\sigma =f(\xi,\eta)A_D$

计算方法：$\iint_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)d\sigma = \int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy$

先画图，再划分区域

三重积分