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数学分析I总结归纳

由于马上要数分考试了，所以赶紧来整理一波数分相关知识点来复习x

大概以每章节的大块知识点进行分类，然后分别围绕知识点总结和体型做法总结。

具体概念目前仅限部分概念的完全罗列x

极限

数列极限

重要知识点

定义类

  1. 实数公理 与 实数稠密性

  2. 数列极限的定义:

    $\forall \varepsilon <0,\exists N \in N_*$时 $\forall n>N$ , 有$| a_n-a| < \varepsilon$ 则称${a_n}$的极限为a，记为$lim a_n =a (n ->\inf )$

  3. 数列有界，上确界和下确界

  4. 确界原理：非空上（下）有界集必有上（下）确界

  5. 区间套定理

  6. $Stolz$定理

  7. $Cauchy$第一定理：算数平均值的极限等于原极限，几何平均值的极限等于原极限

  8. $Cauchy$第二定理

性质类

  1. 收敛数列的性质
  • 极限唯一
  • 收敛数列必有界
  • 无界数列必发散
  • 不等式性（$lim a_n=a,lim b_n=b $ & $a>b$ 则 $a_n > (a+b)/2 > b_n$ )
  • 保号性（$lim a_n=a,\exists N \in N_* $ 当$n>N$ 有$|a_n >|a|/2>0$)
  • 夹逼性
  • 推论1
  • 推论2

  1. 极限四则运算（必须为有限项）

  2. 数列的子列收敛 $\Leftrightarrow$ 数列收敛

  3. 单调有界数列必收敛（从某项开始）

常用结论

$$
\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)
\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1
$$

$$
\frac{1}{n+1} <ln(1+\frac{1}{n}) <\frac{1}{n}
$$

$$
\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{n})^{n} =e
$$

函数极限

  1. 函数极限的定义：①左右极限②在点$x_0$③在正负无穷
  2. 性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性④局部不等式性⑤夹逼性
  3. 四则运算（若有一个函数有未知极限也可以用
  4. 变量替换原则
  5. $Heine$归并定理（常用于证明极限不存在）
  6. $Cauchy$收敛准则
  7. 无穷大量与无穷小量
  8. 幂指函数求极限的公式
  9. 有理函数的极限公式

ps:以下替换只能用于乘除法，加减坚决不行，加减建议使用Taylor展开
$$
x->0, x=sinx=tanx=ln(1+x)=e^x-1=arcsinx=arctanx
$$

$$
x->0,(1+x)^a=ax,1-cosx=\frac{1}{2}x^2
$$

单变量函数的连续性

  1. 连续的定义：$f:U(x_0)\rightarrow R,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) $

  2. 左连续与右连续的定义

  3. 间断点的定义与分类：①可去间断点：$ f(x_0+0)=f(x_0-0)\neq f(x_0)$②跳跃间断点$f(x_0+0)\neq f(x_0-0)$

  4. 运算法则：四则运算和代换都可以满足

    闭区间上连续函数的性质

    1. 零点定理：若$ f\in [a,b],f(a)*f(b)<0,\exists \varepsilon \in(a,b)f(\varepsilon)=0$
    2. 介值定理：若$ f\in [a,b],f(a)<f(b),\forall \mu \in (f(a),f(b)),\exists \varepsilon \in(a,b)使f(\varepsilon)=\mu$
    3. 有界性
    4. 最值性

一致连续

  1. 定义：$\forall \varepsilon >0,\forall x’,x’’ \in I,|x’-x’’|<\delta,|f(x’)-f(x’’)|<\varepsilon $ 则f在I 上一致连续

  2. $Cantor$定理：$f\in C[a,b] \rightarrow f\in U.C[a,b]$

  3. $f \in U.C[a,b],\Leftrightarrow \exists f(a+0),f(b+0)$

  4. 命题：$f \in C[a,\infty]\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)=A\in R$,则$ f \in U.C[A,\infty]$

单变量函数的微分学

此章节主要以罗列知识点为主

微分

  1. $Fermat$定理：若f在$x_0$取极值点且在此处可导，则$f’(x)=0$ 导数为0的点叫做驻点
  2. $Rolle$定理：f在闭区间连续开区间可导则f能去掉区间最大最小值内所有的值
  3. $Lagrange$（拉格朗日）中值定理：f在闭区间连续开区间可导区间 $\varepsilon \in[a,b]$ 使$ f’(\varepsilon)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
    • 推论：f在I上连续且对$\forall x$ 有f(x)=0,则f为常值函数
    • 推论：$|f(x)|<M,|f(x_2 )-f(x_1)|<M|x_2 -x_1|$
  4. $Cauchy$中值定理：f在闭区间连续开区间可导，$\forall x \in(a,b) ,g’(x) \not=0 ,\exists \varepsilon\in(a,b) ,\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\varepsilon)}{f(\varepsilon_)} $
  5. $Darboux$定理：$f \in D[a,b], f’(a)*f’(b)<0 \exists \varepsilon \in(a,b) ,f’(\varepsilon)>0$
  6. 洛必达法则 0/0,$\infty /\infty$
  7. $leibniz$法则（n阶导数）
  8. 反函数求导方法

函数的凸性

  1. 定义$\forall x_1,x_2 \in I,\forall a \in (0,1)f(ax_1+(1-a)x_2)\le af(x_1)+(1-a)f(x_2)$
  2. 性质：f是区间上凸函数，则$\forall x \in I$ 斜率函数$k(x)=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ 在I上单增
  3. 第一充要条件：$f\in C[a,b],D[a,b]$则f(x)是[a,b]上的凸函数$\Leftrightarrow f’(x)$ 在(a,b)上单增
  4. 第二充要条件：f(x)是[a,b]上的凸函数且在[a,b]连续并二阶可导$\Leftrightarrow f’’(x)>0$
  5. 拐点定义：拐点两边有严格不同的凸凹性，只存在与二阶导数为0或不存在的点

Taylor展开

  1. 基本式子
    $$
    f(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k！}(x-x_0)^k +o(x-x_0)^n (peano余项)
    $$

    $$
    +\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(lagrange余项)
    $$

  1. $Maclaurin$公式
    $$
    f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k！}x^k+\begin{cases}o(x^n) &(x->0)\ \frac{f^{(n+1)(\theta x)}}{(n+1)!x^{n+1} }&(0<\theta<1)\end{cases}
    $$
  1. 常见函数的Taylor展开式（自行手写）

应用

  1. 用Taylor展开化简求极限
  2. 将函数的n阶导数与原函数建立关系，证明不等式

ps :积分部分自行总结，东西太多自行手写（接下来上无穷级数

不定积分求法总结

​

ps：定积分部分过于繁杂自行复习笔记

无穷级数

判断级数是否收敛

普通级数

  1. $ Cauchy$判别法
  2. 部分和${S_n}$ 有上界
  3. 比较判别法（直接形式，极限形式，比值形式）
  4. p-判别法（引入$x^p$）
  5. 开n次根号判别法 ($\sqrt[n]{a}$)
  6. 比值判别法（$a_{n+1}/a_n$)
  7. $Rabbe$判别法
  8. A-D判别法：①$b_n$单调有界，$a_n$收敛②$b_n$单调趋近于0，$a_n$部分有界

交错级数

$leibniz$判别法：$a_n$ 单减且极限趋近于0

一致收敛

  1. 定义：$\forall \varepsilon >0,\exists N=N( \varepsilon ) \in N^*,\forall n>N,\forall x\in I,|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon $ 则$f_n(x)$一致收敛于f(x)

判别法

  1. 区别：点太收敛 $\forall x\in I,\forall \varepsilon >0,\exists N=N( \varepsilon ,x) \in N^*,\forall n>N,|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon $ 可见一致收敛的条件更严格
  2. 确界定理: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} sup|f_n(x)-f(x)|=0 \Leftrightarrow$ $f_n(x)$ 一致收敛于$f(x)$
  3. $Cauchy$一致收敛准则$\forall \varepsilon >0,\exists N=N( \varepsilon ) \in N^*,\forall n>N,\forall p \in N,\forall x\in I,|f_{n+p}(x)-f_n(x)|< \varepsilon $
  4. $Weierstrass$ 判别法：$|u_n(x)|<a_n$ 且$ \sum a_n$收敛
  5. A-D判别法：① $\sum u_n(x)$ 一致收敛，$v_n(x)$关于n单调且一致有界②$\sum u_n(x)$ 的部分和函数$s_n(x)$在I 一致有界，$\forall $固定$x \in I ,v_n(x)$关于n单减在I上一致趋于0

性质

  1. 连续性
  2. 逐项可积性
  3. 逐项可微性
  4. 部分可以满足极限内外交换（题目中一旦遇到，应该是可以的）

其他

  1. 若级数收敛，则$a_n$的极限一定为0
  2. 条件收敛与绝对收敛
  3. 满足绝对收敛则一定条件收敛
  4. 级数收敛性有线性加减性
  5. $Riemann$定理：收敛级数的更序级数仍然收敛
  6. $Abel$变换
  7. $Abel$引理

幂级数

  1. $Abel$第一定理:幂函数在$x_0$收敛则当$|x|<|x_0|$一致收敛，幂函数在$x_0$发散则当$|x|>|x_0|$发散
  2. 幂函数收敛域的情况：①仅在x=0发散②在(-R,R)绝对收敛，在其他范围发散③在R发散
  3. 收敛半径的计算$p=\lim\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} 或\lim\frac{1}{ \sqrt[n]{|a_n|}}$
  4. $Abel$第二定理
  5. $Abel$第三定理:在趋于收敛半径极限极限可以内外交换

性质

  1. 连续性
  2. 逐项可积性
  3. 逐项可微性

如何求幂级数的和函数

  1. 常见函数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=ln\frac{1}{1-x}
\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}
\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}
$$

$$
\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}
$$

$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x
$$

  1. 方法：花式求导，逐项可导性的运用

如何求幂级数的Taylor展开式

  1. 背熟常见函数的形式（过于复杂不想列举）
  2. 直接法：先求n阶导再进行推导
  3. 间接法：利用已知的函数展开式进行变形